“Las magnitudes son infinitamente divisibles y, por consiguiente, carecen de ‘átomos’” (Euclides. Elementos)
“El infinito es por adición o por división” (Aristóteles)
“Las paradojas de Zenón han tenido un impacto duradero a través de los intentos, desde Aristóteles hasta hoy, de responder a los problemas que
plantean” (John Palmer)
El Problema del Espacio y el Tiempo
Zenón, de Elea −hoy Lucania, en el sur de Italia− llegó a establecer numerosas paradojas o aporías (dificultades). Ninguno de sus escritos ha sobrevivido, aunque se sabe que escribió un libro que Proclo decía que contenía 40 paradojas. Pero nos han llegado solo cuatro, que Aristóteles relata en su Física y a las que Platón hace referencia en Parménides, uno de sus Diálogos.
Las paradojas de Zenón son relativas al movimiento, a la relación entre espacio y tiempo. Las dos primeras tratan de la división indefinida del espacio. La tercera trata de la división del tiempo en instantes atemporales. La cuarta trata del tiempo discreto. Zenón pretendía demostrar que el movimiento es imposible (o conduce a una inconsistencia) apelando a la noción de infinito: la infinita divisibilidad del espacio, y el tiempo como infinitas sucesiones de instantes atemporales. Zenón quiso poner de manifiesto las contradicciones que subyacen en nuestras concepciones del espacio y el tiempo.
Zenón pretendía defender la doctrina de su maestro Parménides −el más influyente de los filósofos presocráticos−, que sostenía una filosofía monista:
Todo es uno. Todo lo que existe forma un todo, una unidad indivisible, tanto espacial como temporalmente. La pluralidad no existe, el cambio no existe, lo único real es el Ser.
El Ser es ingénito, imperecedero, inmutable e indivisible.
El cambio (y el movimiento en particular) presupone el no-Ser, por lo que todo movimiento es ilusorio porque no tiene sentido hablar del no-Ser. Solo hay una sustancia: el Ser, que es única e inmutable. La multiplicidad es una ilusión. La realidad es un todo que no puede dividirse.
La realidad, el universo, no puede tener ni origen ni fin. El Todo es infinito porque si fuera finito, limitaría con el vacío.
Todos los sistemas filosóficos y científicos que postulan principios de conservación (de la materia-energía, de la cantidad de movimiento, etc.) son herederos de la filosofía de Parménides.
Las Cuatro Paradojas de Zenón
La paradoja de la dicotomía
Cuando tenemos que recorrer una cierta distancia, debemos alcanzar el punto medio entre el origen y el destino, luego el punto medio entre la nueva posición alcanzada y el destino, y así sucesivamente en un proceso recursivo infinito que no acaba nunca. Por lo tanto, el movimiento como desplazamiento entre un punto y otro es imposible porque implica un número infinito de etapas que no se puede completar de manera finita. En este argumento la distancia entre origen y destino es irrelevante, por lo que el movimiento es imposible aunque la distancia a recorrer sea muy pequeña.
Rudy Rucker [1995] da una versión original de esta paradoja: es imposible salir de una habitación porque para salir hay que recorrer la distancia media entre el lugar en que uno se encuentra y la puerta, luego la distancia media entre la nueva posición y la puerta, y así sucesivamente.
El problema de la dicotomía se expresa como la suma infinita
1/2 + 1/22 + 1/23+ 1/24 + ... ,
cuyo límite es 1. Zenón se preguntaba cual era el primer término de esta serie si se considera en sentido opuesto.
Nicolás de Oresme (1323-1382) mostró gráficamente que esta serie arquetípica dicotómica tendía a 1:
Diagrama de Oresme
La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles y la tortuga parten simultáneamente en la misma dirección. Aquiles corre 10 veces más rápido que la tortuga y le da una ventaja de 10 metros. Cuando Aquiles haya recorrido 10 metros, la tortuga habrá recorrido 1 metro. Cuando Aquiles haya recorrido 1 metro, la tortuga habrá recorrido un decímetro. Cuando Aquiles haya recorrido 1 decímetro, la tortuga habrá recorrido 1 centímetro. Y así sucesivamente. Por lo tanto, al implicar infinitos pasos, Aquiles nunca podrá alcanzar a la tortuga, aunque se aproxime infinitamente a ella.
En realidad, esta paradoja es una generalización de la paradoja de la dicotomía cuando la meta o destino es móvil y su velocidad es inferior a la del perseguidor.
La paradoja de la flecha
Cuando se dispara una flecha contra una diana, la flecha en un instante dado no puede estar en movimiento porque el movimiento supone un periodo de tiempo y un instante se concibe como un punto carente de duración. Se sigue que la flecha está inmóvil en cada instante, por lo que no se mueve y no puede alcanzar la diana. Y lo que vale para la flecha vale para todo. Por lo tanto, nada se mueve. El movimiento no existe, es imposible. Es la misma conclusión que que la de la paradoja de la dicotomía, pero con el argumento del tiempo como sucesión de instantes atemporales.
La paradoja del estadio
Se supone que el tiempo se compone de unidades discretas indivisibles. La unidad discreta se simboliza por τ. Consideramos tres cuerpos iguales (A, B y C) de la misma longitud l alineados inicialmente (tiempo 0). En el instante siguiente (tiempo τ), A se desplaza una unidad igual a la longitud l, B permanece inmóvil y C se desplaza una unidad l a la izquierda. Con relación a B, A se ha desplazado una unidad en el tiempo τ. Con relación a C, A se ha desplazado dos unidades. Como A necesitaría 2τ para desplazarse dos unidades con relación a C, se sigue el absurdo de que τ=2τ.
Los 3 cuerpos del estadio (antes y después del tiempo τ
Valoración de Zenón y sus paradojas
Las 4 paradojas de Zenón de Elea han tenido una profunda influencia en el desarrollo de las matemáticas.
La paradoja de la dicotomía se considera una de las contribuciones más importantes que se han hecho al concepto de infinito.
La paradoja de Aquiles y la tortuga es la más conocida de las paradojas de Zenón. Es una paradoja arquetípica que está incorporada en nuestro imaginario colectivo, al mismo nivel que el teorema de Pitágoras o la irracionalidad de √2.
La paradoja de la flecha nos sumerge en la incapacidad de capturar el instante. El instante tiene la misma naturaleza conceptual que el punto geométrico.
La paradoja del estadio contiene el germen de la relatividad.
Según Aristóteles, Zenón fue el creador del pensamiento paradójico y la dialéctica. También se considera a Zenón el precursor del método de reducción al absurdo.
“Los argumentos de Zenón de Elea han aportado, de una forma u otra, unos fundamentos para casi todas las teorías del espacio, tiempo e infinitésimo que han sido construidas desde entonces hasta hoy” (Bertrand Russell).
Según Bertrand Russell y Adolf Fraenkel, tras 2400 años de intentos explicativos, todavía no se han aclarado las paradojas de Zenón. Russell es sobradamente conocido. Fraenkel es conocido principalmente por sus trabajos en la teoría axiomática de conjuntos, en la que intentó eliminar las paradojas y mejorando el sistema axiomático de Zermelo. Los axiomas de la teoría de conjuntos se denominan “axiomas de Zermelo-Fraenkel” (ZF). Si se considera el axioma de elección, se referencian como ZFC.
MENTAL y las Paradojas de Zenón
La paradoja de Aquiles y la tortuga
Se suele afirmar que Aquiles alcanza a la tortuga porque aunque el número de intervalos es infinito, la suma D es finita, siguiendo el razonamiento siguiente:
Pero la solución a la paradoja de Aquiles y la tortuga se basa en distinguir entre los niveles lógico y físico:
A nivel lógico, Aquiles nunca alcanza a la tortuga porque no está implicado el tiempo. Es un nivel lógico porque implica o utiliza la condición.
A nivel físico, Aquiles alcanza a la tortuga porque las líneas de espacio-tiempo de ambos se cruzan precisamente en la distancia D.
En general, si d es la ventaja que da Aquiles a la tortuga, vt es la velocidad de la tortuga, vA>vt es la velocidad de Aquiles, y r<1 es la relación entre vt y vA, Aquiles alcanza a la tortuga a la distancia D y en el tiempo T:
T = d/(vA−vt)
D = vAT = d/(1−r)
En el caso d = 10 y r = 1/10, tenemos:
D = 10/(1−1/10) = 100/9.
Obsérvese que D solo depende de d y r. No depende de las velocidades absolutas de Aquiles y la tortuga, sino de la relación entre ambas. Cuando vt=0, estamos en la paradoja dicotómica y D=d. En cambio, el tiempo T es función de d y de la diferencia entre las velocidades de Aquiles y la tortuga.
El cruce de las dos líneas de espacio-tiempo
Espacio y tiempo como abstracciones físicas y matemáticas
La idea de espacio es uno de los conceptos más importantes de la cultura occidental, tanto a nivel filosófico como científico, y como tal surgió en la antigua Grecia. El espacio es una abstracción:
Es un “continente” que contiene los objetos físicos, las cosas perceptibles por los sentidos. Pero el propio espacio no es un objeto físico ni es perceptible por los sentidos.
Aloja todo tipo de objetos. Todo objeto físico ocupa un cierto espacio y está en un cierto lugar. Lo que no ocupa espacio o no está en algún lugar, no tiene existencia física.
El espacio es un concepto de tipo geométrico porque implica las nociones de posición y distancia.
El espacio es un concepto próximo al Ser porque posee algunas características comunes con el Ser:
Es inmutable, no se transforma y es indestructible. Aloja objetos cambiantes, perceptibles por los sentidos, pero el propio espacio no cambia. Podemos decir que el espacio es un arquetipo primario.
No tiene propiedades. Solo las tiene cuando aloja objetos físicos y se establecen relaciones geométricas entre ellos y cuando se establecen relaciones geométricas entre las partes de los objetos físicos.
El espacio es lo que fundamenta a toda la existencia física, el que da naturaleza a todo lo que existe a nivel físico, porque solo existe lo que ocupa un lugar y una posición.
Es continuo, no da saltos, lo permea todo.
Hay dos tipos de espacio: el espacio físico y el espacio abstracto o matemático. El espacio matemático trasciende el espacio físico y conecta con nuestra conciencia, actuando como fundamento de todo lo que nos rodea. Hace inteligible la realidad porque es el elemento común a todo. El espacio abstracto tiene existencia en un reino superior, más allá de la propia existencia de los objetos que contiene. El mundo matemático no es igual al mundo de los sentidos. El espacio, el tiempo y el movimiento percibido pr nuestros sentidos (o nuestros instrumentos científicos) no son coextensivos con los conceptos matemáticos que tienen los mismos nombres. “El matemático debe admitir que el mundo simbólico que crea no es idéntico al mundo de los sentidos” (Tobias Dantzig).
El espacio, como tal, es indefinible, como todo arquetipo primario. En el siglo XVII hubo varios intentos de definir el espacio con exactitud. Para Newton, el espacio es absoluto e inmutable. Para Kant es un concepto a priori.
Es infinitamente extenso. No tiene límites.
Se contiene a sí mismo, es similar a sí mismo. Es fractal y holográfico. Cada parte del espacio tiene las mismas propiedades que el espacio total.
En MENTAL, espacio y tiempo van unidos. A nivel de conjunto, sus componentes (expresiones) ocupan el mismo “lugar” abstracto y existen simultáneamente en el tiempo abstracto. A nivel secuencia, sus componentes tienen posiciones espaciales y temporales abstractas sucesivas.
Los puntos no tienen extensión, por lo que no tienen existencia física, al no ocupar lugar en el espacio. Pero tienen existencia matemática, son entes matemáticos.
Espacio y iempo son conceptos que tienen propiedades comunes. Si el espacio es divisible, también el tiempo es divisible, o la dicotomía del espacio implica la dicotomía del tiempo.
Suponer que el tiempo es infinitamente divisible es equivalente a representar el tiempo como una línea geométrica en la que se identifica duración con extensión, e instante con punto. Es el primer paso para la geometrización de la mecánica.
El movimiento es solo una correspondencia entre posición y tiempo, es decir, una función. Cuando tenemos la función e = f(t), t es una variable matemática más, sin significado temporal. El movimiento matemático es una sucesión infinita de estados de reposo (instantáneos) En este sentido, la matemática se puede considerar una rama de la estática.
La concepción del movimiento constituido por estados sin movimiento (sin duración) es como considerar un segmento constituido por puntos sin extensión. El problema de los instantes de tiempo es análogo al de la descomposición de un segmento en puntos. El punto es una abstracción. Ya Galileo descubrió que una circunferencia pequeña tenía el mismo número de puntos que una circunferencia grande, puesto que se puede establecer una correspondencia radial entre un punto de la circunferencia pequeña y un punto de la grande.
Podemos distinguir entre tiempo cualitativo (o lógico o abstracto) y tiempo cuantitativo (o físico o concreto).
La imposibilidad del movimiento argumentado por Zenón se refiere a que a nivel profundo, no hay espacio ni tiempo, por lo que tampoco hay movimiento. El nivel profundo es de tipo lógico-matemático, que conecta con el Ser, el alma, donde no hay espacio ni tiempo.
La solución a todas las paradojas se basa en distinguir entre lo profundo y lo superficial. Parménides tenía razón desde el punto de vista profundo.
Bibliografía
Calleja, Seve. Aquiles y la tortuga. Alberdania, 2010.
Dantzig, Tobias. Number. The Language of Science. Pi Press, 2005.
Devlin, Keith. El lenguaje de las matemáticas. MaNonTroppo, 2002.
Durán, Antonio J. La verdad está en el límite. El cálculo infinitesimal. RBA, colección El Mundo es Matemático, 2010.
Fearn, Nicholas. Zenón y la tortuga. Aprende a pensar como un filósofo. Grijalbo, 2003.
Fresán, Javier. El sueño de la razón. La lógica matemática y sus paradojas. RBA, colección El Mundo es Matemático, 2010.
Gracián, Enrique. Un descubrimiento sin fin. El infinito matemático. RBA, colección El Mundo es Matemático, 2010.
Grünbaum, A. Modern Science and Zeno's Paradoxes. Wesleyan University Press, 1967.
Ottman, Larry. The Tortoise and Achilles: using Geometry Expressions to investigate the infinite. Saltire Software, Inc., 2011.
Rucker, Rudy. Infinity and the Mind. The science and philosophy of the infinite. Princeton University Press, 2004.
Salmon, W. (ed.). Zeno's Paradoxes. Bobs-Merrill, 1970.
